再来一个短的，
也是嵌套在《Ω》中的小说。
沙之书：博尔赫斯的模型论
尽管有思想准备，但我还是没想到这次旅途是如此漫长，几乎让我半途而费。数学家认为线由无限多个点组成，我不知道他们是如何得出这个结论的，不会有人真正数过线上的点，就算有也不可能在有限时间中数完这些点。对我来说，线是由神户、横滨、檀香山、旧金山、落杉矶和布宜诺斯艾利斯组成。
在航行的过程中，大多数时间我一个人坐在冷清的甲板上，偶尔会站起来走走。船头不时飞溅起浪花，吞噬掉身后那些世俗的喧嚣。抬头眺望遥远的天边，最后一抹淡淡的晚霞即将消逝，我不禁为这前途未卜的艰难行程感到茫然。
到达布宜诺斯艾利斯的时候，我差不多成了一个乞丐。幸好船上一位好心的绅士看中了我的那只手提袋，它由中国西南部山区彝族蜡染布手工缝制而成。他给了我40个比索拿走了它，然后好心地把我载到了贝尔格拉诺街。在我下车的时候，他把手提袋里的书还给了我，而在此之前我设想过很多种方式想要回这些书。有些时候，实际发生的事情比虚构的事情发生得更直接，也更合理。
在四楼一套公寓门口我敲了很长一段时间，就在我怀疑是不是找错地方的时候，门打开了，大名鼎鼎的博尔赫斯站在我的面前。他的眼睛一定损坏得相当利害，我感到他说话的时候其实并没有看着我。
除此而外，他的记忆大概也差不多被岁月毁掉了。他后来把这次经历记载了下来，在其中他言之凿凿，说我是一个来自奥克纳群岛的高个子卖书人，我找他的目的是向他推荐一本奇特的圣书。最夸张的是这本书竟然是一本不可思议的无限之书，绝不重复。在我离开之后，这本书让他感到害怕，他最后把这本书放到了墨西哥街阿根廷国立图书馆的一个书架上，让它消失在了书海之中。
他绘声绘色的描述让所有的人都相信了这件事，但实际的情况并不如此。我曾经也揣测他是故意这样做的，但我的确想不出他这样做的理由。我倒宁愿相信他是太老了，把事实和虚构搞混了。我记得我告诉过他我的名字叫南华天下，一个在中国都显得有点奇怪的名字，但显然他完全忘记了，在那篇小说里他压根没提到我的名字。
当天的情况是这样的：当我在门口正准备离开时，博尔赫斯打开了门。他把我让进屋，我们在地面上的书堆之间穿过。他说我充满忧郁，但相反的是他浑身上下散发着忧郁的气息，也许他是在为自己的视力而忧郁。他努力想看清楚我模样的举动让我非常感动，但实际上我怀疑他是否做到了这点。
他太老了，佝偻着身子，拄着一个手杖，拖着鞋子在地上走着。后来我知道，这是专门去纽约唐人街买来的中国竹制的手杖。我不知道他是不是还有能力回答我的回题，我迟疑起来。用一个艰难的问题来打扰这个老人，是不是太残忍了呢？也许我过于乐观了。
一回会儿之后，我说：“我出售《庄子》。”
他听了之后微微一笑，相当卖弄地说他最不缺的就是《庄子》。我对他能听懂中文不感到吃惊，但他一口流利的成都话，让我真正对他刮目相看。后来，他告诉我他是根据意大利人皮亚诺的学生兼同事瓦卡的汉语教程自学的。
“……你看，这是王先谦的《庄子集解》，陈寿昌的《南华经正义》，这是明代焦闳的《庄子翼》，看看这本……”
他从一叠线装书中小心翼翼地拿出一本递给我，竟然是乾隆年出版的西晋郭象的《庄子注》。
“我甚至有司马彪注本的竹简拓片，搬家的时候我把它放进了一个大箱子里，一直没有取出来。你知道，人老了精力有限。”
他显然误解了我不远万里来找他的目的，我虽然出售《庄子》，但我带给他的不是《庄子》，而是庄子的辩论对手惠施所用过的一根小木棍。
我打开随身携带的箱子，拿出了那根包在丝绸中的小木棍。经过久远的时光，小木棍呈现淡淡的琥珀色，长久地抚摸让它变得光滑，露出细腻的纹理。我向他演示了这根小木棍的神奇之处。我两手轻轻一掰，木棍从中间断成两截。我把一截递给他，他拿在手上靠近眼睛仔细看着。十几秒之后，他手中的一半重新变成以前那么长。
“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”博尔赫斯兴奋地叫了起来。
“是的。你手中的这根小棍，就是当年惠施当着庄子的面折断的那根。这么多年来，经过许多次的折断，但依然一尺长。”
他显然非常心动，甚至准备用他全部的养老金加上司马彪的《庄子》注本拓片来交换。
我毫不犹豫拒绝了。他让我提出条件，但我突然张口结舌，说不出话来。我本来想提出一个困惑我很多年的问题，在漫长的旅途中，我在心中不停重复这个问题，但关键时刻我却无法说出来。我当时的样子肯定非常狼狈，还有什么事情比自己的问题居然无法表达而让人尴尬呢？
“你无法说出你的条件？”博尔赫斯一眼看穿了我的思想，我难为情地点点头。
“是苛刻的条件？”
“不是，”我急忙否定，“我不会愚昧到对伟大的博尔赫斯提出苛刻的条件。我的条件只是一个问题，困惑我很久的一个问题。”
听见“伟大”这个词，博尔赫斯皱了皱眉，“一个无法表达的问题？”
我再次用力点头，“我只能说它与无限有关。”
这次他点了点头，若有所思。“无限……无限……”他在嘴里轻轻嘟囔着这个词。
“因为涉及无限，我突然发现自己无法在有限个词汇中把它表达出来，”我突然像是明白了一些似的。
“你说的不无道理，但这种说法完全否定了我们认识无限的可能性。照你的说法，一个人如果想述说无限的东西，那他必须要写一本无限的书才行。”
一本无限的书。后来他以小说的方式提到过这件事，也许就是由我们的谈话得到的启迪。
“我觉得不无道理。无限的东西难道不需要一个无限长的描述吗？”
“当然不是。如果这样的话，任何数学教科书都将是一本无限之书。”他站起身来，问我要不要一点喝的。
“这真是让我感到奇怪了，”也许他的话触碰到了我心中某个敏感的地方，我大声说了起来，“难道数学不是科学吗？不是关于这个世界的知识吗？如果我们的世界是有限的（就算是无限的，但我们也永远只能认识其中的有限部分），那么为什么数学是关于无限的学问？”
博尔赫斯吃惊的看着我，不明白我为什么这样激动，“你真的不需要喝点什么？”
“也许该来点茅台酒，”我夸张地说。
他站起身来，从酒柜里真的拿出了茅台酒，倒了一杯放在我的面前，“这是我的父亲从一个中国人那里换来的。我不能喝了，医生说如果我想活得长一点的话，就必须把酒戒了。”
这个时候，又响起了敲门声。“今天真是个奇怪的日子。我这里经常几个月都没有人来，而今天居然来了两个。”
他走去开了门，然后拿着一束花走了回来。他看起来非常困惑，自嘲地向我摇着花束，“送花人说没有送错地方”。
他随手把花放在了地上，“我们刚才说到什么？”
“我想知道，既然世界是有限的，数学为什么要涉及无限？”
“噢，”他若有所思地在房间里走了起来，“数学跟其他的科学学科不一样，其他的科学比如物理学、化学、生物学的研究对象是这个具体的世界，而数学则不然。”
“数学研究什么？”
“它研究的是世界的模型。你一定知道，小孩子在四五岁以后，学习加法已经不再通过具体对象，比如苹果来学习加法，而是使用抽象的称为数的东西来学习。类似的，你也没见过哪个数学家把纸剪成三角形或长方形来从事几何学的研究。这一方面是因为没有这个必要，一方面是因为在任何情况下，得到的形状将不会是精确的正方形、三角形或任何它们被认为是的形状。所以，数学研究的是世界的模型，一种理想化的世界，它包含我们不会在日常生活中遇到的事物，比如无限细的延展到无穷的线条，或者绝对完美的圆，它从来不包含世俗的像汉堡包、椅子或人类这样的事物。”
“那么这个理想化的世界中究竟有些什么呢？”
“数学结构！”博尔赫斯举起右手伸出食指，“只有一种东西，它就是数学结构。”
“您能具体一点吗？”对于无所凭据的抽象事物，我天生具有一丝恐惧。
“让我想想……”他又开始在书房里踱步，然后在窗口前站住。“好吧，我们来看自然数。自然数是指0，1，2……这样的数，它构成了一个结构。”
“这个……”我感到有点困惑，“它们就是一些数，怎么会是一个结构？”
“请注意这样的事实：我们在谈论这些数的时候，我们也同时考虑到了这些数上面的加法和乘法以及它的大小次序。没有这些运算和次序，这些数是没有任何意义的，和0个鸡蛋，1个鸡蛋，……没什么区别。把所有自然数作为一个集合，再加上它们之上的加法和乘法运算，以及它的自然次序0<1<2<……，再给定两个特殊的自然数0和1，就构成了数学意义上的结构。”
“数学就研究这类结构？”
“是的，”他点点头，“自然数结构只是数学研究中的一个结构，当然是最重要的结构。”
“最重要的吗？但我认为这个结构很简单。”
“南华先生，你太小看这个结构了，”博尔赫斯看着我笑了笑，像看着一个小学生那样原谅了我的无知。当然，他未必是在看我。他微眯的眼睛让我无法确定他在看什么。“克罗内克说过一句很有名的话：上帝创造了自然数，其余的都是人的工作。高斯也说过，数论是数学的皇冠。”
“可是，这个结构跟数论有什么关系？”
“数论的研究目的就是尽可能多地得到在这个结构中为真的语句。如果我们知道了所有在这个结构中为真的语句，数论就完成了。”
“你的意思是说这就是数论学家日复一日不断证明新数论命题的原因？我知道威尔士证明了费马大定理，但哥德巴赫猜想还未被人证明，类似的未证明的猜想还有很多。”
博尔赫斯看着我，低低地说道，“即使在受过大学教育的人当中，也很少有人知道数学近五十年中证明的定理，你知道得不少。好吧，现在想起你想问的问题了吗？”
他又开始玩那根小棍，他看起来无法抵制它的诱惑。他的两只手上各有一根一尺长的小棍子，显然他刚刚又一次地掰断了它。
“我觉得我在慢慢靠近我想问的问题。或许再跟你聊聊数学，那个问题就会脱口而出，”我说。
博尔赫斯耸耸肩，双手一摊，“好吧。你还想知道什么？”
“我知道很多数学家在努力证明新的数论命题，可我还是不明白它们的正确性是怎么建立起来的。我的意思是说，数学家从公理开始，一步一步地推导，最后得到想要的语句，从而完成一个证明。但在这个证明中，正确性是如何建立起来的呢？”
“首先，推理过程是正确的，即从一个正确前提，只能推理正确的结论。因此，从正确的公理，肯定只能推理正确的结论。”
“你说得很对，但谁来保证公理的正确性呢？难道数学中有某种像海牙国际法庭这样的机构做出种裁吗？”
博尔赫斯笑了起来，“如果数学中有这样的机构，它就不再是一门科学了。科学必须有完全的自由。不过，你问得有道理。实际上，公理的选择的确是一件很麻烦的事。它有很多选择标准，重要的有两个：一是自明，二是无矛盾。”
“自明就是显尔易见，直截了当，对吧？但每个人有每个人的理解，这恐怕众口难调吧，”我说。
“的确，自明性不是一个数学概念。因此，对于一个数学结构，往往可以提出很多组公理。但一般的情况是，不同的公理体系最终被证明是等价的，因此大家都接受它作为该结构的公理，比如自然数结构，现在一般接受皮亚诺公理是它的公理。”
“可是无矛盾性呢？它也是一个非数学概念吗？”
“不，不，”博尔赫斯朝我晃动食指，“无矛盾性是一个数学概念，它是公理系统的基本条件，如果一个公理系统是有矛盾的，则它可以推出任何命题，这样的公理系统显然没有任何意义。”
“如何证明一个公理系统的无矛盾性呢？比如说我们怎么知道皮亚诺公理是无矛盾的呢？”
“事实上，到目前为止，没人证明皮亚诺公理的无矛盾性！所做的工作只能证明它的相对无矛盾性！”
“什么是相对无矛盾性？”
“它的意思指，我们必须在某个前提下，才能证明皮亚诺公理的无矛盾性。换言之，只有承认某个其他的公理体系是无矛盾的，我们才能证明皮亚诺公理是无矛盾的。”
“这是如何做到的？”
“我们通常的数学证明都是使用自然语言来完成的，但要证明公理系统的无矛盾性，我们必须把公理体系形式化，把推理系统形式化。总而言之，我们必须形式化地去研究证明的过程。”
“您是指一阶逻辑和二阶逻辑这类东西？”
博尔赫斯再次站住脚步看着我，“你越来越让我吃惊了，你不像是个没学过数学的人。”
“为了搞清楚我心中的疑问，我学习了一些基本的数学知识，”我承认。
“由于一阶逻辑具有良好的性质，一般来说都使用它来描述这些公理。”
“好吧，现在我们有了一阶逻辑，我们如何来证明一个公理体系是无矛盾的？”
“一阶逻辑有个良好的性质，叫做完备性，即如果一个公理体系是无矛盾的，那么一定存在一个数学结构满足该公理体系，这个数学结构叫做该公理体系的模型。”
“模型？你刚才在说数学的研究对象时，也提到过这个词，它究意是什么意思？”
“模型有很多种意思，用在这里是指满足某个数学语句或某组数学语句的数学结构。”
“这样的话，证明公理体系无矛盾性的问题，就被转换成了为该公理体系找到一个模型的问题。这真是一个很好的办法，是哪个聪明人想出来的？”我有点明白了。
“一阶逻辑的完备性是哥德尔证明的，但关于语言和模型间的关系的研究则是由斯科拉、哥德尔和塔尔斯基开始的，它后来发展成了一个专门的学科，称为模型论。”
“这种研究很重要吗？”
“是的，它是数理逻辑的四大分支之一。”
“能告诉我它都有什么重要结论吗？”
“当然可以。经过模型论的研究，数学家知道了一阶逻辑不能唯一的描述一个结构。罗文海姆-斯科拉定理指出任何公理体系如果具有无限模型，则具有可数无限模型。瓦特定理说，如果一个公理体系具有不止一个可数模型，则它至少具有三个模型。莫雷定理说，任何公理体系如果它在某个不可数基数具有唯一的模型，则对所有不可数基数，具有唯一的模型……”
“等等，”我迫不急待地叫了起来，“什么是可数？”
博尔赫斯吃惊地看着我，“你知道一阶逻辑，却不知道是什么可数，真是奇怪的中国人。”
我期待地看着他，他于是接着说，“我们说一个集合是可数的，简单地说，就是它的元素可以一个一个数出来，就像自然数集合一样。从数学角度来看，就是这个集合能够与自然数集合形成一个一一对应。”
“那么不可数集合，就是它的元素无法一个一个数出来，就像有理数或实数？”我问。
“如果不严格的话，可以这么说，”博尔赫斯转头看着我，“不过，虽然实数集是不可数的，但有理数集合是可以一个一个数出来的，只不过需要采取一个变通的方式。换言之，它是可数的。”
尽管我大概明白了可数与不可数，但上面这些定理对我来说还是太难了，我不得不向博尔赫斯承认，“这些定理都过于专业了，有没有我能够理解的？”
博尔赫斯相当有涵养，对我过分的要求他依然耐心解释。 “我试试吧。我们来看看关于自然数结构，模型论得到了什么结论。首先，自然数结构是不可有限公理化的，即你不可能只使用有限条公理就证明所有在自然数结构上为真的语句”
“这是不是在某种意义上说，我们无法用有限的方式来描述自然数结构？”我小心翼翼地说。
“啊哈，中国南方，”博尔赫斯叫了起来，“你越来越让我吃惊了。”
他显然没太弄清楚我的姓氏的含义，但我并不奇怪，实际上在中国也有很多人像他一样望文生义。
“可是如果必须要用无限多条公理才能描述自然数结构，我不知道这样的公理还有什么用？没有人能记住无限条公理！”我大声说道。
“这我可不同意，”博尔赫斯狡黠的眨着眼睛，“尽管没人能记住所有的公理，但如果你任意给出一个语句，我都能够判断出它是否是无限多条公理中的一条，那么就算有无限多条公理，并不影响我们进行推理。”
我不得不同意博尔赫斯是对的，但我还有另外的疑问。
“那么，如果有这样的无限公理集，就是能够判断任何语句是否属于该公理集，我们就能推出所有在自然数结构上为真的语句了？”
“不，”博尔赫斯断然地说，“你说的这种无限公理集合，我们称之为递归公理集合。实际上任何无限的递归公理集合都不能证明所有在自然数结构上为真的语句，这就是著名的哥德尔不完备定理。”
我彻底地呆住了，我承认我从来没想到过我们每天都用到的自然数，看起来是如此的简单，但我们竟然永远也无法完全掌握它！
“你的意思是说，某些关于自然数的语句是不可证明的？”
“是的。”
“这是不是意味着，我们永远也无法彻底理解自然数这个结构？”
“是的。”
“这真的很神奇。但更神奇的是，数学家居然能够证明某个语句在皮亚诺公理中是不可证明！他们如何证明这点的呢？”我越来越感到数学的博大与精深。
“假如我们想证明语句不能由皮亚诺公理证明，只需找到皮亚诺公理的两个模型，使得在一个模型中为真，同时在另一个模型中为假。”
这些东西在博尔赫斯的小说中完全没有出现过，我不敢肯定他是不是有意忽略了它们，或者某种东西被他以隐喻的方式不动声色的放入了其中，而没有让我们察觉。以前中国有个数学家叫李靖，也是这么干的。这个时候，一道亮光突然射入我的头脑。
“无限与有限，是截然不同可以分开的吗？它们会不会就像是一枚硬币的两面，从而完全无法分开呢？”我问。
博尔赫斯静静看着我，但我知道他眼神远远超越了我。我只是他生活中间的一个小小插曲和符号，或者什么也不是。
“我想，这就是我想问的问题，”我说。
“这也是我在我的小说中反复表现的，”他慢慢地回答，“并且，我认为我们将永远不会知道它的答案。”
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胡联网于2011-02-19 13:44编辑
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- 胡联网
- 2011-02-19 13:25
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