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开心学数系列Playing Math Series
闲论Atiyah-Singer指标定理
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless.
---------Vladimir Igorevich Arnold

开场白

余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。

万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。

为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。

本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。

鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。


目录（subject to changes）

开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训


闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子

Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。

西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。

如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。

抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？

且看polik慢慢贴来。

（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）

（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）

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