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闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。

这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。

在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！

尊重江湖规矩，用黑话表达AS：

记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：

Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >

其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。

如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。

先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有

1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴

也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。

这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。

映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。

如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。

如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。

如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？

能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。

函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。

显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。

这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。

集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）

群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。

我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。

显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。

群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。

线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。

举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。

对偶空间：V-->V*, W-->W*

"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)

伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^

至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：

对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：
dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成
dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。

这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。

今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。

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