泡网俱乐部

闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛
至少有些响应。感谢Berkeley狼，xj等人释疑，你们今年必有好运。

人终究是自利的。越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语。还有就是，虽然我做了一些努力，一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多包涵。今后有空有兴再贴个修改版。

一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必然的。

那就继续讲集合、算子。

一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二阶，...导数拼凑成的算子多项式：
a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。

假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...), i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。

正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程（PDE）求解问题。

正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。

因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵），则为椭圆算子。

我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。

看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。

同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭圆算子。

我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.

至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。

好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。

描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。

从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。

当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。

简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。

为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。

第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。

第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR话题。

这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。

非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。

这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。

休息完，继续爬。

底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。

类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。

对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。

细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？

太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。

至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。

好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。

于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。

以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。

古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。

阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。

前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。

下面是插曲，看官尽管可以略过。

令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。

插曲完了。

到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。

作为中国知识分子声音的一个子集，海外中文论坛上总是一片吵骂声，包括新语丝读书论坛上也有那么多缺乏起码教养的，连说话的basic manners都没有，一上来就是要干架，死活就是要"讲赢"，还有那么多志愿的政府宣传员和党工。凭我的第八感，可以看得到那些人血液里流动的毒素和他们精神里的恶瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的热心人，兼具绅士/淑女风度和义士精神。短兄湘女精神境界令人赞赏，心理健康值得敬佩。因此，谨以今天这篇拙文献给短江和湘女。中土这面大鼓，除盛产狼孩这种bad解以外，也还有polik，短兄和湘女这样的良解，这面鼓或许还有一点点可能性予以修补

• 相关回复